几个自然数数列求和公式

13 Jul 2021

本文收集了几个自然数数列求和的公式，除了 $1+2+..+n$ 之外，还有一些其他的变形。偏结论向。（顺便练习 $\LaTeX$）

• 连续自然数之和

$$\sum_{i=1}^{n}i=1+2+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$

推论：

$$\sum_{i=a}^{b}i=\frac{\left(a+b\right)\left(b-a+1\right)}{2}$$

• 连续自然数平方之和

$$\sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$$

• 连续自然数立方之和

$$\sum_{i=1}^{n}i^3=1^3+2^3+...+n^3= \left[\frac{n\left(n+1\right)}{2} \right]^2$$

• 其他

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j=\left(1\right)+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)+...+\left(1+2+3+...+n\right) =\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$$